纯随机序列：白噪声检验：由于样本的有限性，在实践中，纯随机项自相关系数不会绝对等于零，只会在0的附近进行波动
所以从统计上判断，baeleet提出了一个自相关系数应该服从什么的分布（0，1/n）的正态分布，因此提出了检验方法，提出了统计量Q统计量，服从卡方分布，其实是原假设是全部等于0
，备择假设是至少有一个不等于0。后来人们发现Q统计量适合大样本，提出了LB统计量适合小样本，修正的Q统计量。验证短期相关性。区分纯随机和平稳，看研究是不是有意义。
平稳非随机序列的建模和预测
延迟算子，差分运算，
过去式和随机扰动项
函数形式，滞后期，随机扰动项的结构
ar x受到1-p阶滞后的影响，随机误差项为零均值白噪声序列，一笔戏弄t和xt没有关系，自回归
中心化的arp 模型和非中心化的arp模型之间的转化，转化的目的是为了把常数项弄成0，便于分析
ma，受到随机扰动项，滞后1-p期的影响，随机误差想还是零均值白噪声，移动平均
arma自回归移动平均
三个模型平稳性的判定
模型生成的时间序列是平稳的，那么他就是平稳的
判别方法：时序图和自相关图，根据生成的数据来进行判断
单位根和平稳域根据模型自身来进行判断
通解求平稳条件
特征根，特征根都在单位圆内，自回归系数的多项式的根都在单位圆外
平稳域判别，推导出平稳域，适合于低阶，不适合高阶，由于高阶不容易推导出平稳域
总结：写出特征方程，求出特征根，进而根据特征根判断和平稳域判断
对于高阶的arp，不需要计算特征根，有一些规则，必要性和充分性
ma方差存在且有界的模型生成的序列总是平稳的，所有他的ma模型也是平稳的
arma的平稳性完全由自回归部分的平稳性来进行判断
平稳性的统计性质：均值，方差，自协方差，自相关系数和偏自相关系数
green函数就是将ar模型表示成关于的线性组合，其传递形式的系 数为green函数
方差求解的时候，不好求，所以先把他弄成传递形式，根据白噪声的方差的性质来进行求解
自协方差：根据传递形式来求，根据递推公式求
自相关函数:协方差函数/方差，传递公式，递推形式
自相关系数的性质：指数型因此表现为短期相关性，拖尾性表现为xt不断会受到xt-1的影响
假设我们现在有3个随机变量A,B,C. 它们两两相关。我现在想知道A和C的相关性是怎么来的，是不是A和C之间的相关性是由中间变量B带来的？所以我们想把A中和B有关的“因素”剔除，剩下的“东西”称为A', 把C中和B有关的“因素”剔除，剩下的“东西”称为C'。然后我们看看A'和C'之间的相关性是怎样的，如果corr(A',C')=0,那么A和C之间的相关性确实是由中间变量带来的。corr(A',C')可以称为A和C的“偏相关系数”（这个词是我编的）。
回到平稳时间序列，如果我们想知道x_n＋1和x_1之间的相关性是不是由中间变量x_2，x_3，……，x_n-1带来的，那我们也可以仿照第一段，把中间变量剔除后得到两个新的随机变量，这两个随机变量的相关系数就叫做第n个偏自相关系数。
如果你学过计量经济学的话，这就和剔除confounding factor特别像。
偏自相关系数：k阶自回归模型的第k个回归系数的值
偏自相关出现了截尾，其他人证明的没有说
计算方法：月儿博客方程组和行列式。递推公式
自相关函数除以方差就是自协方差函数

ma模型会出现自相关系数不唯一，简而言之就是不同的模型的自相关系数可能一样，因此我们给模型增加约束条件这个条件叫做可逆性条件，来使得模型和数据唯一对应性。
ma的自相关系数的截尾性计算出来的
过去序列值的线性组合无限地逼近现在的时刻行为，我们将其叫做拟转形式，其系数被称为逆函数
两个自相关系数相同的，可逆条件不一样，一个序列对应唯一的可逆ma模型。
ma模型可逆的条件：ma关于白噪声的部分的特征根都在单位圆内，ma的系数多项式的根都在单位圆外
ma的可逆性和相对应的ar模型的平稳性是相对应的，原因是条件都一样
可逆条件下，ma模型可以转化到无穷阶的ar模型，这样ar所具备的性质，ma也可以具备。
偏自相关拖尾性。可逆无穷拖尾，一般的具有拖尾性
arma的可逆性有ma决定
ar：偏自相关系数p阶截尾，自相关系数拖尾
ma 偏自相关系数拖尾，自相关系数截尾
平稳时间模型的参数估计：考虑的是中心化的armapq的估计
对于中心化的arma模型的参数估计:ar部分的p个，ma部分的q个，还有随机误差项的方差
对于非中心化的arma模型的参数估计多了一个均值。
三种估计方法，据估计，极大似然估计和最小二乘估计
据估计就是算，根据一阶距，二阶距的性质进行计算。简单，但是由于存在非线性距的估计，精度差，用到的信息少，一般会用作极大似然估计和最小二乘估计的初始值的求解
极大似然估计：似然函数最大，联合概率分布最大，需要事前知道总体分布，缺点就是难计算，但是精度高
最小二乘估计：残差平方和最小，对于ARMA模型和MA模型一般采取非线性最小二乘法和极大似然估计，实际中常用的是条件最小二乘法。因为最小二乘法是不一致的。对于ar是一致的。
条件最小二乘法假设：实际中未观测到值是0
一个模型：模型的诊断检验：模型参数的显著性检验：最简化，和模型的残差序列是否为白噪声，模型的有效性检验 ：对相关信息的提取是不是充分，随机误差项观测不到：理论上所有的阶都需要考虑，但是实际上大多数都是低阶相关的
多个模型进行选择（AR.MA）：多少阶数。最佳准则函数：参数的个数和对于数据的拟合程度。
AIC似然函数值越大越好，参数个数越小越好， SBC 值越小，模型越优， 优先使用那种准则， SBC一致性比较小，AIC有效性比较好，
对于ARMA模型的方法，估计所有的模型（（00）（55）），记下所有的信息准则值，确定最小的
EACF法
平稳时间的预测：三种预测方法
最小均方误差预测：预测的进度只与步长有关，根据假定和推导求最小均方误差满足的情况下的预测值
条件期望预测:期望加随机扰动项：根据一些假定和推导求条件期望
适时修正预测：当有新的信息的时候，如何修正模型、根据新的信息进行修正：新的预测值=旧的预测值加上一个修正项得到的
平稳时间序列的建模过程
建模过程：平稳性和随机性的检验，判断为平稳非白噪声序列，计算样本的自相关系数值和样本的偏自相关系数值。提出一个适当类型的ARMA（pq）进行模型识别，参数估计，模型检验，模型优化，序列预测
模型识别：识别前的说明：零均值，平稳性，随机性检验（阶数观察值个数/10,对数），非平稳要转化，方差：对数，平方。均值非平稳，差分变化。
根据样本自相关图和偏自相关图表现出来的性质来选择合适的pq，需要看截尾还是拖尾，通过构造置信区间估计
模型根据信息准侧确定阶数，参数估计，模型有效性检验，信息准则，模型显著性检验，
参数估计
模型检验
模型优化
序列预测
非平稳时间序列：确定分析方法和随机分析方法
word分解订立。任何一个平稳的时间序列都可以分解为不相关的平稳时间序列之和，包括确定性序列和随机性序列，确定性序列是指，受到历史信息的影响较大，随机性序列是指受到历史的影响较小。
cerama他将其扩展到非平稳时间序列，认为非平稳时间序列可以分解为确定性趋势（非平稳）和零均值误差成分（平稳的）
非平稳时间序列，剔除确定性趋势。1.差分，如何确定差分阶数，线性函数，一阶差分。非线性趋势，可以通过2阶或者3阶差分来进行提取。周期长度，的差分。
不要过分差分，因为虽然提取的是平稳时间序列，但是方差会不断的增加。
具有非线性的趋势，可以首先将非线性趋势进行一些变化，转化为线性趋势，在进行差分，可以减少差分阶数。
ARIMA模型，首先进行差分，转化为ARMA模型，再进行接下开的（pdq）
求和自回归移动平均模型，自回归移动平均模型，求和自回归模型，求和移动平均模型，随机游走模型
ARIMA模型的预测，方法最小均方误差，条件期望预测，最小均方误差预测和条件期望预测是等价的。
4.5疏系数模型，就是原模型中有部分的p或者q为0，增大自由度，提高精度，提高有效性。
一个疏系数模型可以是季度自回归模型。周期4的自回归系数拖尾，4截尾。
简单的季节模型：加法季节模型：季节效应和其他效应是加法的关系。通过低阶差分和季节差分可以 将其变化为普通的平稳时间序列模型
乘积季节模型
低阶差分和季节差分。短期相关性和季节效应，两个模型去提取短期相关性和季节效应看截尾，拖尾，然后两个模型进行乘积
AR IMA缺陷1差分损失信息2.经济含义不强
残差自回归模型：提取确定性的趋势，确定性分解方法，剩余的残差序列是平稳序列，如果是用自回归模型拟合残差序列，那么建立的模型就是残差自回归模型。
看残差序列的自相关性是否显著，如果不存在了相关性，那么可以停止分析，说明此时对于信息提取是充分的，如果存在相关性，对残差序列拟合自回归模型
确定性趋势的拟合：t的函数或者x的函数
季节效应的拟合：季节指数，和x的季节函数，
残差序列的相关性检验
DW检验：构造了一个统计量，理论上近似是在【0,4】的范围，给定统计信息，查表得到DW的上下临界值信息，因此如果不存在相关性应该值是2左右。存在判别规则
杜斌检验：当回归因子包含之手因变量的时候，DW统计量为有偏统计量。修正了，杜斌t和杜斌h，尤其是确定性趋势一阶自
回归模型
方差齐性变换：方差齐性就是同方差，
零均值假定，对序列进行中心化处理；纯随机性就是信息能不能充分提取。
异方差的直观判断，残差时序图和残差平方的时序图
如果残差序列是方差齐性的，那么他会在一个与均值相等的空间进行波动，且不带趋势
残差序列的方差就是他平方的期望，即残差的平方应该在某一个常数附近进行随机波动，且不具备某种趋势。
处理方法：如果异方差的具体形式已知，考虑方差齐性变换，一般会是对数变化。若具体形式未知，考虑拟合条件异方差模型。
存在异方差性，序列的均值和序列的方差具有某种函数关系。寻找一个转换函数使得转化后的序列满足方差齐性
异方差的处理：波动集群效应。某些时段方差比较小，某些时段方差比较大。临近各期的方差具有一定的相关性造成的。
自回归条件异方差模型：用确定性的函数来刻画异方差的演进过程。
A RCH模型：均值方程+方差方程 首先检验是否具有ARCH效应，根据残差平方序列是否具有自相关性来进行判断。检验方法，自相关图，也就是Q检验，第二种是拉格朗日乘子检验。构建辅助回归模型，即残差平方和用残差平方和的滞后项进行描述，然后进行看系数是不是0.
GARCH模型（1,1）是无穷阶的ARCH模型，可以较好地拟合具有长记忆性的异方差模型
ARCH更像一个移动平均模型，而不是自相关模型。用的是残差的q阶滞后来拟合当期异方差值。由于移动平均模型具有自相关系数具有截尾性质，因此对于ARCH来对异方差进行刻画的时候，只可以刻画具有短期相关性的过程，不能反映长期过程。
基于因素分解定理的确定性时间序列分析方法
影响序列波动的因素一般可以分为:长期趋势因素，季节变动因素和循环波动因素和不规则变动因素
循环波动：从低到高，再从高到低
选择确定性时序分析的目的是：克服其他因素的影响，单纯的测算出某一个确定性因素对序列的影响。各种确定性因素彼此之间的相互关系，以及他们对于数据的综合影响。
长期趋势：线性拟合（最小二乘法）和非线性拟合（最小二乘法可以转化为线性或者迭代的方法不可以转化为线性 ）
移动平均法：在短期内，影响因素是由随机波动所产生的。所以可以用一段时间去估计某一期
n期中心移动平均
n期移动平均
滞后期数n如何确定。存在周期的话，可以用周期数，如果对平滑有要求的话，那么需要权衡
移动平均：消除季节趋势，对低阶趋势有效的提取，一元一次趋势和一元二次趋势，还可以提取季节效应。
季节偏差是指：移动平均值和年度均值之间的差异，用于加法模型
季节指数：移动平均值和年度均值之间的相对数：用于乘法模型
随机因素的影响3*3
月度因素的影响2*12
季度效应的影响2*4
计算季节偏差和季节指数（简单移动平均）
简单中心移动平均：对于二次以上的趋势提取不充分，因此引入赫德森加权移动平均。另外一个人：因为中心移动平均会损失信息提出了非对称的移动平均
X11季节调整模型：经济指标会被季节效应掩盖，因此我们要剔除季节效应的影响。基于简单易懂平均，非对称移动平均和加权移动平均，3阶段10步
给定数据-时间图-四种因素相互独立用加法模型-四种因素相互关联的时候用乘法，伪加法模型，对树模型。从图形上看，季节效应波动的振幅是不是随着时间的变化而变化，3个阶段，10步的反复迭代，2*12符合移动平均，剔除周期效应。剔除趋势因素，季节指数，剔除季节效应，加权移动平均和非对称移动平均重复上述步骤，季节指数那里得到季节最终拟合值，加权移动平均和非对称移动平均得到最终趋势的估计值，剔除趋势效应，得到随机波动。
X12ARIMA基于序列内部相关性：主要考虑一些异常因素的影响。如闰年和2月，构造模型看是不是显著。优势在于：给出拟合值，拟合效果图，模型拟合的检验统计量。
指数平滑：
简单移动平均：权重一样
指数平滑法：权重不一样。平滑系数。确定初始值和平滑指数0.05-0.3，预测的任何值都是一样的。a+a(1-a)
不足：都为常数，对于具有长期趋势和季节效应，简单指数平滑法不再适用。而且拟合的精度没有arma高
平稳多元时间序列
ARIMAX模型，当输入序列和响应序列都为平稳时间序列的时候，可以使用ARIMAX模型来分析模型之间的因果关系
残差序列自相关问题
虚假回归：非平稳时间序列常常因为趋势性而出现虚假回归的问题。
四种重要的非平稳过程1.随机游走2有漂移项的随机游走过程3.趋势平稳过程4.趋势非平稳过程，
随机游走，单位根过程，当xt=xt-1+误差项.当xt-1的系数为1的时候，那么就是随机游走含有单位根，xt=随机误差项从1-t相加。所以随机游走过程是非平稳过程。随机游走过程是差分平稳化，因此差分平稳化过程。
带漂移项的随机游走过程xt=确定性时间趋势+随机游走过程，差分后的也是平稳过程
上面两种有序列的随机性导致，还有两种由序列的确定性趋势所产生、
趋势平稳过程：确定性趋势加平稳过程，趋势平稳过程-确定性趋势=平稳过程，具有均值回复的特征。趋势平稳过程的差分是一个过渡差分的过程。
及含有确定性还有随机性的非平稳过程。趋势非平稳过程含有时间的一次趋势和二次趋势，二次趋势起到了主导作用。先差分，后提取趋势可以得到平稳过程
DF检验：只适合一阶自回归的平稳性检验。要求自回归模型的随机误差项是白噪声过程。
如何检验是不是平稳，看xt=系数xt-1+误差项，看系数是不是1，还是小于1，
DF检验对于不同的回归模型不同，有3种模型去检验，一阶自回归模型
ADF检验是DF检验的扩展：对于白噪声的扩展，出现了自相关，因此使用高阶自回归模型：临界值表
自回归系数之和是不是等于1
协整：原先的时候为了避免伪回归的问题，我们采取将非平稳变成平稳，但是会导致信息损失和所建模型解释能力不强。所以如果y与x之间协整，说明随机误差项平稳，就不会产生虚假回归的问题。
协整检验：EG检验
单位根检验用的DF检验，可以是EG检验
单位根检验用的是ADF检验，可以是AEG检验。
ECM模型短期波动，协整检验： 长期趋势